Model Pelata

Dalam fizik nuklear, model petala nuklear merupakan model bagi nukleus atom yang menggunakan prinsip Pauli untuk menerangkan struktur nukleus dalam bentuk aras tenaga. Model ini dibangunkan dalam tahun 1949 mengikut hasil kerja bebas oleh beberapa ahli fizik, antaranya Eugene Paul Wigner, Maria Goeppert-Mayer dan J. Hans D. Jensen, yang berkongsi Anugerah Nobel pada 1963 bagi sumbangan mereka.

Model petala merupakan sedikit analogi kepada model petala atom yang menerangkan susunan elektron dalam atom, dan petala yang terisi menentukan kestabilannya. Apabila kita menambah nukleon (proton atau neutron) ke dalam nukleus, terdapat takat tertentu apabila tenaga ikatan bagi nukleon seterusnya kurang dengan agak ketara berbanding yang sebelumnya. Pemerhatian ini, yang terdapatnya bilangan ajaib bagi nukleon: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 adalah terikat dengan kuat berbanding nombor seterusnya yang lebih tinggi, merupakan asal-usul model petala.

Perhatikan bahawa petala itu wujud bagi setiap proton dan neutron, maka, apabila kita berkata tentang "nukleus ajaib" iaitu satu jenis nukleon berada dalam bilangan ajaib, dan "nukleus ajaib berganda", apabila kedua-duanya adalah ajaib. Bergantung kepada jenis pengisian petala, bilangan ajaib yang lebih tinggi adalah 126 dan, 184 bagi neutron tetapi hanya 114 bagi proton. Ini bersesuaian dengan pencarian yang dinamakan pulau kestabilan. Malah, terdapat juga penemuan bagi bilangan separa ajaib, terutamanya Z=40.

Untuk mendapatkan bilangan ini, model petala nukleus bermula dari keupayaan purata dengan bentuk antara perigi segi empat sama dan pengayun harmoni. Untuk keupayaan ini, sebutan petala spin yang relatif ditambah. Walaupun begitu, jumlah usikan tidak berkaitan dengan eksperimen, dan gandingan petala spin empirikal, dinamakan Sebutan Nilsson, harus ditambah dengan sekurang-kurangnya dua atau tiga nilai yang berbeza dengan pemalar gandingan, bergantung kepada nukleus yang dikaji.

Tidak kurang juga, bilangan ajaib bagi nukleon, begitu juga dengan ciri lain, boleh didapati dengan menganggarkan model dengan penghayun harmoni tiga matra bersama tindak balas spin-petala. Keupayaan yang lebih nyata tetapi rumit dikenali sebagai keupayaan Woods Saxon.

Model anggaran bagi kecacatan penghayun harmonik

Katakan ia adalah penghayun harmoni tiga matra. Ini akan akan memberikan, sebagai contoh, dalam dua aras pertama

aras n	l	ml	ms
0	0	0	1/2
			-1/2
1	1	1	1/2
			-1/2
		0	1/2
			-1/2
		-1	1/2
			-1/2

Kita boleh bayangkan kita berada dalam membina satu nukleus dengan menambahkan proton dan neutron. Kes ini akan sentiasa mengisi aras terendah yang mungkin. Maka, dua proton yang pertama akan mengisi aras sifar, enam proton yang seterusnya akan mengisi aras satu, dan seterusnya. Seperti juga elektron dan jadual berkala, proton yang berada di petala terluar mempunyai ikatan yang lemah dengan nukleus jika hanya terdapat beberapa proton sahaja di dalam petala, kerana mereka adalah yang terjauh dari pusat nukleus. Maka, nukleus yang memnpunyai petala proton terluar yang penuh akan mempunyai tenaga ikatan yang lebih tinggi berbanding nukleus lain yang mempunyai jumlah proton yang sama. Perkara ini adalah sama bagi neutron juga.

Ini bermakna, bilangan ajaib akan dijangka tercapai apabila semua petala terisi penuh. Kita lihat bagi dua bilangan pertama, kita ada 2 (aras 0 penuh) dan 8 (aras 0 dan 1 penuh), menurut eksperimen. Walau bagaimanapun, set lengkap bagi bilangan ajaib tidaklah menunjukkan sesuatu yang betul. Ia boleh dikira seperti berikut:

Dalam penghayun harmoni tiga matra, jumlah kedegeneratan bagi aras n adalah . Disebabkan oleh spin, kedegeneratan adalah digandakan dan menjadi (n + 1)(n + 2).

Maka, bilangan ajaib akan menjadi

bagi semua k. Ini memberikan bilangan ajaib berikut: 2,8,20,40,70,112..., yang setuju dengan eksperimen bagi tiga masukan pertama.

Secara khususnya, enam petala yang pertama adalah:

• aras 0: 2 keadaan (l = 0) = 2.
• aras 1: 6 keadaan (l = 1) = 6.
• aras 2: 2 keadaan (l = 0) + 10 keadaan (l = 2) = 12.
• aras 3: 6 keadaan (l = 1) + 14 keadaan (l = 3) = 20.
• aras 4: 2 keadaan (l = 0) + 10 keadaan (l = 2) + 18 keadaan (l = 4) = 30.
• aras 5: 6 keadaan (l = 1) + 14 keadaan (l = 3) + 22 keadaan (l = 5) = 42.

iaitu bagi setiap l terdapat 2l+1 nilai yang berbeza bagi m_l dan 2 nilai bagi m_s, lalu memberikan jumlah 4l+2 keadaan bagi aras tertentu.

Memasukkan kesan tindak balas spin-pelata

Kemudian kita masukkan tindak balas spin-petala. Mula sekali, kita harus nyatakan sistem melalui nombor kuantum j, m_j dan pariti berbanding l, m_l dan m_s, seperti dalam atom ala hidrogen. Memandangkan setiap aras genap melibatkan hanya nilai genap bagi l, ia melibatkan hanya keadaan pariti genap (positif); Sama juga bagi setiap aras ganjil hanya melibatkan keadaan pariti ganjil (negatif). Maka, kita boleh abaikan pariti dalam mengira keadaan. Enam petala yang pertama, dinyatakan oleh nombor kuantum yang baru, adalah

• aras 0 (n=0): 2 keadaan (j = 1/2). Pariti genap.
• aras 1 (n=1): 4 keadaan (j = 3/2) + 2 keadaan (j = 1/2) = 6. Pariti ganjil.
• aras 2 (n=2): 6 keadaan (j = 5/2) + 4 keadaan (j = 3/2) + 2 keadaan (j = 1/2) = 12. Pariti genap.
• aras 3 (n=3): 8 keadaan (j = 7/2) + 6 keadaan (j = 5/2) + 4 keadaan (j = 3/2) + 2 keadaan (j = 1/2) = 20. Pariti ganjil.
• aras 4 (n=4): 10 keadaan (j = 9/2) + 8 keadaan (j = 7/2) + 6 keadaan (j = 5/2) + 4 keadaan (j = 3/2) + 2 keadaan (j = 1/2) = 30. Pariti genap.
• aras 5 (n=5): 12 keadaan (j = 11/2) + 10 states (j = 9/2) + 8 keadaan (j = 7/2) + 6 keadaan (j = 5/2) + 4 keadaan (j = 3/2) + 2 keadaan (j = 1/2) = 42. Pariti ganjil.

iaitu bagi setiap j terdapat 2j+1 keadaan berbeza dari nilai yang berbeza bagi m_j.

Disebabkan tindak balas spin-petala, tenaga keadaan yang sama aras tetapi dengan j yang berbeza tidak akan sama lagi. Ini disebabkan dalam nombor kuantum asal, apabila selari dengan , tenaga tindakannya adalah negatif; dan dalam kes j = l + s = l + 1/2. Apabila adalah anti selari kepada (i.e. arah yang berlawanan), tenaga tindakannya adalah positif, dan dalam kes j = l - s = l - 1/2. Maka, kekuatan tindak balas itu alaha lebih kurang berkadaran dengan l.

Sebagai contoh, pertimbangkan keadaan di aras 4:

• 10 keadaan dengan j = 9/2 datang dari l = 4 dan s selari dengan l. Maka, ia mempunyai tenaga tindak balas spin-petala negatif.
• 8 keadaan dengan j = 7/2 datang dari l = 4 dan s anti-selari dengan l. Maka, ia mempunyai tenaga tindak balas spin-petala positif.
• 6 keadaan dengan j = 5/2 datang dari l = 2 dan s selari dengan l. Maka, ia mempunyai tenaga tindak balas spin-petala negatif. Walau bagaimanapun, magnitudnya adalah separuh berbanding keadaan dengan j = 9/2.
• 4 keadaan dengan j = 3/2 datang dari l = 2 dan s anti-selari dengan l. Maka, ia mempunyai tenaga tindak balas spin-petala positif. Walau bagaimanapun, magnitudnya adalah separuh berbanding keadaan dengan j = 7/2.
• 2 keadaan dengan j = 1/2 datang dari l = 0 dan mempunyai tenaga tindak balas spin-petala sifar.